“钱是钱么？” “额... 应该是吧。” 我们经常以货币来衡量一些物品或者服务的价值。但是仔细想想，货币的价值又该怎么衡量？ “一百万是钱吗？” “额... 好像是吧。” 事实上，金钱的价值是因人而异的，也不是可以简单地说清楚的。 “一百万对巴菲特来说是钱吗？” “额... ” 为什么对于普通人来说数目可观的一百万资金，到了巴菲特手里就变得轻如鸿毛？这就涉及到了经济学中效用的概念。本文将介绍效用的模型，解释我们对价值的衡量标准，并在该模型中分析我们面对不确定性时的决策。 $ $ ``` 本文由JoinQuant量化课堂推出，难度为进阶上，理解程度为 level-1。 阅读本文需要掌握随机变量（level-0）的知识。 作者：肖睿 编辑：宏观经济算命师 ``` $ $ 本文是一系列文章中的第一篇。本系列从基础概念入手，推导出 CAPM 模型。系列中共有四篇： 1. **效用模型** 2. [风险模型](https://www.joinquant.com/post/1774) 3. [MPT 模型](https://www.joinquant.com/post/1991) 4. [CAPM 模型](https://www.joinquant.com/post/2275) $ $ #### **效用函数** 为了简化问题，我们假设每一个人都有一个*效用函数(utility function)* $u$，它的输入是一个财富总额，输出是这么多的财富可以给这个人带来多少效用。效用，简单来讲就是指金钱和物质给一个人带来的在生活中的满足感和便利性。每个人的效用函数是不一样的，有些人资产不多但很满足，而有些人却觉得有多少钱都不够。抛开个体的差异，一般来讲，大多数人的效用函数都满足两个性质。 第一个性质是(P1)：如果 $x\leq y$，那么 $u(x) \leq u(y)$。用人话来说，就是钱多总比钱少好。 第二个性质是(P2)：如果 $d \geq 0$，并且 $x \leq y$，那么 $$ u(x+d) - u(x) \geq u(y+d) - u(y). $$ 用人话举个例子，假设 $d$ 是一万元，$x$ 是二十万，$y$ 是二十亿，这就是说当我们的总资产只有二十万的时候，一万元钱提供的效用比我们有二十亿时要大。这也是符合逻辑的，因为当我们只有二十万时，一万的额外资金可以用来做很多事情，但当我们有二十亿的时候，一万元已经无足轻重。 如果一个效用函数满足以上两个性质，我们说它是“正常”的，因为大多数人都要会符合这些性质。并且，在绝大多数经济学理论中，我们都会假设投资者的效用函数是“正常”的。 如果将一个“正常”的效用函数 $u$ 画成图的话，这两个性质在图上表现出来的就是：一，效用曲线是上升的；二，效用曲线的上升越来越慢。如下图所示。 ![urpoor.jpg][1] 可以假设，图中的蓝点就是你的位置，红点的是巴菲特的位置。两个人在 $x$ 轴上向右移动同样的距离，也就是说你和巴菲特的总资产同时增加同样的数额。这时巴菲特的效用值几乎没有变动，但这些财富却带给了你很多的额外效用。这个模型告诉我们一个好消息，就是因为你很穷，所以增加不多的资产就可以获得很多的满足感。但坏消息是，你很穷。 $ $ #### **“正常”函数都很“凹”** 上一节中的性质(P1)和(P2)有一些等价的性质，同样可以用来描述效用函数。这些额外的描述方式可以方便我们做运算或者在效用函数的模型上做一些证明。 **定义**：如果一个函数 $f: \mathbb R \to \mathbb R$ 满足以下条件：对于任何 $x,y \in \mathbb R$，有 $$ f\left(\frac{x + y}{2} \right) \geq \frac{f(x)+f(y)}{2}. $$ 那么我们说 $f$ 是一个*凹函数(concave function)*。 ![concave.jpg][2] 上图是凹函数的示例图，函数在平均点 $(x+y)/2$ 上的取值大于函数在两点上取值的平均 $(f(x)+f(y))/2$。 性质(P2)实际上和凹函数是等同的概念。证明所有(P2)函数都是凹函数比较简单；反之，所有凹函数也都是(P2)函数，但证明起来需要实分析的理论。这里我们给出证明。 **命题**：所有满足(P2)的函数都是凹函数。 *证明*：假设 $f: \mathbb R \to \mathbb R$ 满足(P2)性质，也就是，如果 $d \geq 0$ 和 $a \leq b$，有 $$ f(a+d) - f(a) \geq f(b+d) - f(b). $$ 那么，给定 $x,y \in \mathbb R$，不妨假设 $y \geq x$。定义 $z = \frac{y-x}{2}$，读者可以自行验证 $x+z = \frac{x+y}{2}$。根据(P2)， $$ \begin{aligned} f(x+z) - f(x) &\geq f(x+z+z) - f(x+z) \\\\ f\left( \frac{x+y}{2} \right) - f(x)&\geq f(y) - f\left( \frac{x+y}{2} \right) \\\\ f\left( \frac{x+y} {2} \right) & \geq \frac{f(x) + f(y)}{2} \end{aligned} $$ 由此得知 $f$ 是凹的。$\blacksquare$ 此外，了解微积分的读者可能已经发现，如果 $u$ 是二次可导的函数，那么(P1)和(P2)的性质也意味着 $u' \geq 0$ 并且 $u'' \leq 0$。 $ $ #### **预期效用假说 ** _预期效用假说(expected utility hypothesis)_假设的是：如果一个投资者的效用函数是 $u$，面对 $n$ 种选项，并且这些选项的财富值结果可以用随机变量 $X_1,X_2,\dots, X_n$ 表示，那么该投资者会选择 $E[u(X)]$ 最大的那个选项。 投资者无时不刻不在面临很多选项。有时这些选项可能结果是固定的，比如将钱存入银行；有时可能是不固定的，比如买入风险资产。预期效用假说的意思是，不论投资者的选项是什么，他必定会选择将自己的预期效用最大化的那个选项。 如果抉择的结果全部是固定的，问题并不复杂，我们可以直接选择货币价值最高的那个。但如果结果是不确定的，那么相互比较就比较困难；在这个假说之下，我们可以用效用模型来分析对于不确定性的抉择。 举一个例子。假设一个投资者的效用函数是 $u(x) = \sqrt{x}$（读者可以自行证明这个效用函数是“正常”的），并且他现在有 $x_0 = 25000$ 的资产。假设他现在有两种选择。一种是什么都不做；另一种是投资于某一项目，该项目有一半的几率成功并且给投资者 $15000$ 的收益，但也有一半的几率会失败并且造成 $15000$ 元的损失。将什么都不做的选项用随机变量 $X_0$ 表示，即为 $$ X_0 :\ (0, 1), $$ 即有 $1 = 100\%$ 的几率让资产变动 $0$ 元。用 $X_1$ 表示投资的选项，则有 $$ X_1 :\ (15000, 1/2), (-15000, 1/2). $$ 两个选项的预期收益都是 $E[X_0]= E[X_1] = 0$。再计算预期效用，得到 $$ E[u(x_0 + X_0)] = E[u(x_0)] = E[\sqrt{25000}] \approx 158.11, $$以及$$ \begin{aligned} E[u(x_0 + X_1)] & = \frac{1}{2} \cdot u(x_0 + 15000) + \frac{1}{2}\cdot u(x_0 - 15000)\\\\ & = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{40000} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10000}\\\\ & = \frac{1}{2} \cdot 200 + \frac{1}{2} \cdot 100\\\\ & = 150 < 158.11. \end{aligned} $$ 得知进行投资的预期效用小于什么都不做的效用，因此不应该选择投资。 $ $ #### **结语** 效用模型解释了我们对价值的衡量，以及面对不确定性的决策。在[下一篇](https://www.joinquant.com/post/1774)中，我们将解释这个效用模型对于风险的意义，从数学的角度理解为什么“鸡蛋不要放在一个篮子里”。 $ $ ``` 本文由JoinQuant量化课堂推出，版权归JoinQuant所有，商业转载请联系我们获得授权，非商业转载请注明出处。 文章更迭记录： v1.1，2016-07-26，修正公式 v1.0，2016-07-12，文章上线 ``` [1]: https://image.joinquant.com/3082721614630130e063a2717e6c5859 [2]: https://image.joinquant.com/a5ac12e0e76e0404bd6713a9c2b1709b